Sei ${\displaystyle {}I}$ ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge

${\displaystyle {\left\{\delta (a)\mid a\in I,\,a\neq 0\right\}}.}$

Diese Menge hat ein Minimum ${\displaystyle {}m}$, das von einem Element ${\displaystyle {}b\in I,\,b\neq 0}$, herrührt, sagen wir ${\displaystyle {}m=\delta (b)}$. Wir behaupten, dass ${\displaystyle {}I=(b)}$ ist. Dabei ist die Inklusion „${\displaystyle {}\supseteq }$“ klar. Zum Beweis der Inklusion „${\displaystyle {}\subseteq }$“ sei ${\displaystyle {}a\in I}$ gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt ${\displaystyle {}a=qb+r}$ mit ${\displaystyle {}r=0}$ oder ${\displaystyle {}\delta (r)<\delta (b)}$. Wegen ${\displaystyle {}r\in I}$ und der Minimalität von ${\displaystyle {}\delta (b)}$ kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist ${\displaystyle {}r=0}$

${\displaystyle {}a}$

${\displaystyle {}b}$