Sei ${\displaystyle {}E_{r+1}=\emptyset }$ und ${\displaystyle {}E_{r+2}=M}$ und sei

${\displaystyle {}I\subseteq \{1,2,\ldots ,r,r+1,r+2\}\,.}$

Wenn in ${\displaystyle {}I}$ weder ${\displaystyle {}{r+1}}$ noch ${\displaystyle {}{r+2}}$ vorkommt, so ist ${\displaystyle {}I\subseteq \{1,\ldots ,r\}}$ und daher gilt

${\displaystyle {}P{\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}=\prod _{i\in I}P{\left(E_{i}\right)}\,}$

aufgrund der Voraussetzung über die vollständige Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie. Wenn ${\displaystyle {}r+1\in I}$ ist, so taucht darin die leere Menge auf und es ist einerseits

${\displaystyle {}\bigcap _{i\in I}E_{i}=\emptyset \,}$

mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle {}0}$ und andererseits auch

${\displaystyle {}\prod _{i\in I}P(E_{i})=0\,.}$

Wenn in ${\displaystyle {}I}$ der Index ${\displaystyle {}r+2}$ vorkommt, aber nicht ${\displaystyle {}r+1}$, so ist

${\displaystyle {}I=J\cup \{r+2\}\,}$

mit ${\displaystyle {}J\subseteq \{1,\ldots ,r\}}$ und somit

${\displaystyle {}P{\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}=P{\left(\bigcap _{i\in J}E_{i}\cap M\right)}=P{\left(\bigcap _{i\in J}E_{i}\right)}=\prod _{i\in J}P(E_{i})=\prod _{i\in J}P(E_{i})\cdot P(M)=\prod _{i\in I}P(E_{i})\,.}$