Die Elemente aus ${\displaystyle {}N}$ seien mit ${\displaystyle {}1,2,\ldots ,n}$ bezeichnet. Zu jedem ${\displaystyle {}i\in N}$ sei

${\displaystyle {}M_{i}={\left\{x\in M\mid f(x)=i\right\}}\,}$

und

${\displaystyle {}m_{i}={\#\left(M_{i}\right)}={\#\left({\left\{x\in M\mid f(x)=i\right\}}\right)}\,}$

die Anzahl der Elemente aus ${\displaystyle {}M}$, die auf ${\displaystyle {}i}$ abgebildet werden (was ${\displaystyle {}0}$ sein kann). Da

${\displaystyle {}f\circ s=\operatorname {Id} _{N}\,}$

gelten soll, muss ${\displaystyle {}s(i)\in M_{i}}$ für jedes ${\displaystyle {}i}$ gelten. Somit gibt es

${\displaystyle m_{1}\cdot m_{2}\cdots m_{n}}$