Wir zeigen etwas allgemeiner, dass es zwischen zwei endlichen Mengen ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$, die beide ${\displaystyle {}n}$ Elemente besitzen, ${\displaystyle {}n!}$ bijektive Abbildungen gibt. Dies zeigen wir durch Induktion nach ${\displaystyle {}n}$, wobei der Fall ${\displaystyle {}n=1}$ klar ist. Die Aussage sei nun für ${\displaystyle {}n}$ schon bewiesen und es liegen zwei ${\displaystyle {}(n+1)}$-elementige Mengen ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ vor. Es sei ${\displaystyle {}x\in M}$ ein fixiertes Element. Dann gibt es für die Bilder ${\displaystyle {}\varphi (x)}$ genau ${\displaystyle {}n+1}$ Möglichkeiten, nämlich die Anzahl der Menge ${\displaystyle {}N}$. Wenn dies festgelegt ist, so entsprechen die bijektiven Abbildungen von ${\displaystyle {}M}$ nach ${\displaystyle {}N}$ mit

${\displaystyle {}\varphi (x)=y\,}$

den bijektiven Abbildungen von ${\displaystyle {}M\setminus \{x\}}$ nach ${\displaystyle {}N\setminus \{y\}}$. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es ${\displaystyle {}n!}$ solche bijektiven Abbildungen. Daher ist die Anzahl der bijektiven Abbildungen zwischen ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ gleich

${\displaystyle {}(n+1)\cdot n!=(n+1)!\,.}$