Sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ ein Polynom vom Grad ${\displaystyle {}n}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. ${\displaystyle {}F}$ und die (formale) Ableitung ${\displaystyle {}F'}$ sind teilerfremd.
2. ${\displaystyle {}F}$ und die (formale) Ableitung ${\displaystyle {}F'}$ erzeugen das Einheitsideal.
3. ${\displaystyle {}F}$ besitzt in keinem Erweiterungskörper ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ mehrfache Nullstellen.
4. Es gibt einen Erweiterungskörper ${\displaystyle {}K\subseteq L}$, so dass ${\displaystyle {}F}$ als Polynom in ${\displaystyle {}L[X]}$ in ${\displaystyle {}n}$ verschiedene Linearfaktoren zerfällt.