Es sei ${\displaystyle {}P=P_{1}P_{2}}$ eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in ${\displaystyle {}L}$ die Beziehung

${\displaystyle {}0=P(x)=P_{1}(x)P_{2}(x)\,.}$

Da ${\displaystyle {}L}$ ein Körper ist, muss ein Faktor null sein, sagen wir ${\displaystyle {}P_{1}(x)=0}$. Da aber ${\displaystyle {}P}$ unter allen Polynomen ${\displaystyle {}\neq 0}$, die ${\displaystyle {}x}$ annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}P_{1}}$ den gleichen Grad besitzen und folglich muss ${\displaystyle {}P_{2}}$ konstant (${\displaystyle {}\neq 0}$), also eine Einheit