Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine ungerade Primzahl. Es sei ${\displaystyle {}q=p^{e}}$ und ${\displaystyle {}c\in {\mathbb {F} }_{q}}$ ein Nichtquadrat.

1. Zeige

   ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q^{2}}\cong {\mathbb {F} }_{q}[X]/{\left(X^{2}-c\right)}\,.}$

2. Zeige, dass es eine Kette von rein-quadratischen Erweiterungen

   ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{2}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{4}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{8}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{16}}\subseteq \ldots \,}$

   gibt.

3. Zeige, dass die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}-2\right)}}$ ein Quadrat ist.
4. Es sei nun ${\displaystyle {}p=1\mod 4}$. Zeige, dass die Restklasse ${\displaystyle {}x}$ von ${\displaystyle {}X}$ in ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}[X]/{\left(X^{2}-c\right)}}$ ein Nichtquadrat ist.
5. Es sei ${\displaystyle {}p=1\mod 4}$ und sei ${\displaystyle {}a\in \mathbb {Z} /(p)}$ ein Nichtquadrat. Zeige, dass ${\displaystyle {}Y^{2^{n}}-a}$ für alle ${\displaystyle {}n\geq 1}$ irreduzibel ist.