Wir haben zunächst

${\displaystyle {}a_{2}F_{1}-a_{1}F_{2}=(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})X+a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}\,.}$

Daraus ergibt sich der Ausdruck (dieses Argument ist nicht ganz richtig, es lässt sich aber auch rigoroser durchführen)

${\displaystyle {}X=-{\frac {a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}}\,.}$

Wir setzen das in ${\displaystyle {}F_{1}}$ ein und multiplizieren mit dem Quadrat des Nenners und erhalten

${\displaystyle a_{1}(a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2})^{2}-b_{1}(a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2})(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})+c_{1}(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})^{2}.}$

Hier kommt im zweiten Summand ${\displaystyle {}-b_{1}a_{2}c_{1}a_{2}b_{1}}$ und im dritten Summand ${\displaystyle {}c_{1}a_{2}^{2}b_{1}^{2}}$ vor; diese beiden Summanden heben sich weg, in allen übrigen Monomen kommt ${\displaystyle {}a_{1}}$ vor. Wir können also ${\displaystyle {}a_{1}}$ wegkürzen und übrig bleibt

${\displaystyle (a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2})^{2}-b_{1}(-a_{2}c_{1}b_{2}-c_{2}a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}c_{2})+c_{1}(a_{1}b_{2}^{2}-2a_{2}b_{1}b_{2}).}$