Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}D}$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten ${\displaystyle {}m}$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}K}$ besitzt eine ${\displaystyle {}m}$-te primitive Einheitswurzel.
2. Zu jedem Primpotenzteiler ${\displaystyle {}p^{r}}$ von ${\displaystyle {}m}$ besitzt ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}p^{r}}$-te primitive Einheitswurzel.
3. Zu jedem Teiler ${\displaystyle {}n}$ von ${\displaystyle {}m}$ besitzt ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}n}$-te primitive Einheitswurzel.
4. Zu jeder Ordnung ${\displaystyle {}n}$ eines Elementes ${\displaystyle {}d\in D}$ besitzt ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}n}$-te primitive Einheitswurzel.