${\displaystyle {}{\begin{aligned}z_{3}^{17}&=z_{3}^{3\cdot 5+2}\\&=z_{3}^{3\cdot 5}\cdot z_{3}^{2}\\&={\left(z_{3}^{3}\right)}^{5}\cdot z_{3}^{2}\\&=1^{5}\cdot z_{3}^{2}\\&=z_{3}^{2}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}{\left(5+11z_{3}+8z_{3}^{2}\right)}+{\left(6+8z_{3}+9z_{3}^{2}\right)}=11+19z_{3}+17z_{3}^{2}\,.}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(2+5z_{3}+z_{3}^{2}\right)}\cdot {\left(4+3z_{3}+2z_{3}^{2}\right)}&=8+6z_{3}+4z_{3}^{2}+20z_{3}+15z_{3}^{2}+10z_{3}^{3}+4z_{3}^{2}+3z_{3}^{3}+2z_{3}^{4}\\&=8+6z_{3}+4z_{3}^{2}+20z_{3}+15z_{3}^{2}+10+4z_{3}^{2}+3+2z_{3}\\&=21+28z_{3}+23z_{3}^{2}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}(x-1){\left(x^{2}+x+1\right)}=x^{3}+x^{2}+x-x^{2}-x-1=x^{3}-1\,.}$

${\displaystyle {}z_{3}}$

${\displaystyle {}z_{3}^{3}-1=0\,.}$

Daher muss nach der vorstehenden algebraischen Gleichung

${\displaystyle {}0=z_{3}^{3}-1={\left(z_{3}-1\right)}{\left(z_{3}^{2}+z_{3}+1\right)}\,}$

gelten. Wegen ${\displaystyle {}z_{3}\neq 1}$ ist der linke Faktor nicht ${\displaystyle {}0}$. Wenn man also für den neuen Zahlenbereich ${\displaystyle {}Z_{3}}$ auch die Nichtnullteilereigenschaft voraussetzt, so muss der andere Faktor gleich ${\displaystyle {}0}$ sein, also

${\displaystyle {}z_{3}^{2}+z_{3}+1=0\,.}$