Wir betrachten die Verknüpfung von Abbildungen

${\displaystyle \mathbb {R} {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}S^{1}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ,}$

wobei

${\displaystyle {}\theta (t)=(\cos t,\sin t)\,}$

und ${\displaystyle {}p_{1}}$ die erste Projektion ist. Die trigonometrische Parametrisierung, die Inklusion (einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit) und die Projektion sind differenzierbar. Wäre ${\displaystyle {}\varphi }$ differenzierbar, so müsste auch die Gesamtabbildung differenzierbar sein. Diese ist aber

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \vert {\cos t}\vert .}$

Diese ist an der Stelle ${\displaystyle {}t=\pi /2}$ nicht differenzierbar, da dort die linksseitige Steigung ${\displaystyle {}-1}$ und die rechtsseitige Steigung ${\displaystyle {}1}$ ist. Die Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$ ist also nicht differenzierbar.