${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=1\,}$

folgt

${\displaystyle {}y={\sqrt {1-x^{2}}}=:f(x)\,.}$

${\displaystyle {}f}$

${\displaystyle {}f'(x)={\frac {1}{2}}{\left(1-x^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\cdot (-2x)=-x{\left(1-x^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\,}$

und insbesondere ${\displaystyle {}f'(0)=0}$. Die zweite Ableitung ist

${\displaystyle {}f^{\prime \prime }(x)=-{\left(1-x^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}-x^{2}{\left(1-x^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}\,}$

und insbesondere

${\displaystyle {}f^{\prime \prime }(0)=-1\,.}$

Da ${\displaystyle {}f}$ eine gerade Funktion ist, ist die dritte Ableitung ungerade und deshalb ist

${\displaystyle {}f^{\prime \prime \prime }(0)=0\,.}$

Das Taylorpolynom vom Grad ${\displaystyle {}3}$ ist somit

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}x^{2}.}$