Zunächst ist ${\displaystyle {}u}$ keine Einheitswurzel, da aus ${\displaystyle {}u^{n}=1}$ direkt ${\displaystyle {}u=u^{n+1}}$ folgt, dann hätte ${\displaystyle {}u}$ eine ${\displaystyle {}n+1}$-te Wurzel. Wir arbeiten in

${\displaystyle {}R^{\times }/\mu _{}{\left(R\right)}\cong \mathbb {Z} ^{m}\,}$

gemäß Fakt, und sei ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{m}}$ ein System von Fundamentaleinheiten. Es ist also

${\displaystyle {}[u]=a_{1}[v_{1}]+\cdots +a_{n}[v_{n}]\,}$

mit ${\displaystyle {}a_{i}\in \mathbb {Z} }$. Wenn diese Koeffizienten einen gemeinsamen Teiler ${\displaystyle {}g\geq 2}$ hätten, so bedeutet dies zurückübersetzt nach ${\displaystyle {}R}$, dass

${\displaystyle {}\zeta u=v_{1}^{a_{1}}\cdots v_{m}^{a_{m}}={\left(v_{1}^{a_{1}/g}\cdots v_{m}^{a_{m}/g}\right)}^{g}\,}$

ist im Widerspruch zur Voraussetzung. Also sind die Koeffizienten teilerfremd. Nach Aufgabe

${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{m}}$