a) Das charakteristische Polynom ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\chi _{A}&=\det {\begin{pmatrix}x-1&-2&-2-{\mathrm {i} }\\0&x-{\mathrm {i} }&-1-{\mathrm {i} }\\0&0&x+1-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&=(x-1)(x-{\mathrm {i} })(x+1-2{\mathrm {i} })\\&=x^{3}-(0+3{\mathrm {i} })x^{2}+(-3+2{\mathrm {i} })x+2+1{\mathrm {i} }\end{aligned}}}$

und die Eigenwerte von ${\displaystyle {}A}$ sind ${\displaystyle {}1,{\mathrm {i} },-1+2{\mathrm {i} }}$.

b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.

${\displaystyle {}x=1}$:

Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-2&-2-{\mathrm {i} }\\0&1-{\mathrm {i} }&-1-{\mathrm {i} }\\0&0&2-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}}$

bestimmen. Da gehört ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}}$ dazu.

${\displaystyle {}x={\mathrm {i} }}$:

Dies führt auf

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1+{\mathrm {i} }&-2&-2-{\mathrm {i} }\\0&0&-1-{\mathrm {i} }\\0&0&1-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

Wir wählen ${\displaystyle {}c=0}$ und ${\displaystyle {}a=2}$ und erhalten ${\displaystyle {}b=-1+{\mathrm {i} }}$, also ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-1+{\mathrm {i} }\\0\end{pmatrix}}}$

ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$.

${\displaystyle {}x=-1+2{\mathrm {i} }}$:

Dies führt auf

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-2+2{\mathrm {i} }&-2&-2-{\mathrm {i} }\\0&-1+{\mathrm {i} }&-1-i\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

Mit ${\displaystyle {}c=-1+{\mathrm {i} }}$ und ${\displaystyle {}b=1+{\mathrm {i} }}$ ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu

${\displaystyle (-3+2{\mathrm {i} })a-1-{\mathrm {i} }+(2-{\mathrm {i} })(-1+{\mathrm {i} })=0}$

Somit ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-2+{\mathrm {i} }\\1+{\mathrm {i} }\\-1+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {}-1+2{\mathrm {i} }}$

c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\mathrm {i} }&0\\0&0&-1+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.}$