Sei

${\displaystyle {}F=V^{3}+U^{2}V-2UV+2U^{2}-4U-2V\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial U}}=2UV-2V+4U-4{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial V}}=3V^{2}+U^{2}-2U-2.}$

Aus der ersten Gleichung erhält man für einen singulären Punkt die Bedingung

${\displaystyle V(U-1)=-2U+2{\text{ bzw. }}V={\frac {-2U+2}{U-1}},}$

wobei die letztere Bedingung voraussetzt, dass ${\displaystyle {}U\neq 1}$ ist. Betrachten wir also zuerst den Fall ${\displaystyle {}U=1}$. Die erste partielle Ableitung ist dann unabhängig von ${\displaystyle {}V}$ gleich null und die zweite Ableitung liefert die Bedingung

${\displaystyle 3V^{2}+1-2-2=0{\text{ bzw. }}V^{2}=1,{\text{ also }}V=\pm 1.}$

Die Kurvengleichung ergibt

${\displaystyle {}V^{3}+V-2V-2V-2=V^{3}-3V-2=0\,,}$

die von ${\displaystyle {}V=-1}$ erfüllt wird. Daher ist ${\displaystyle {}P=(1,-1)}$ ein singulärer Punkt der Kurve.

Unter den neuen Variablen ${\displaystyle {}X=U-1}$ und ${\displaystyle {}Y=V+1}$ ist ${\displaystyle {}P}$ der Nullpunkt. Die Kurvengleichung transformiert sich unter ${\displaystyle {}U=X+1}$ und ${\displaystyle {}V=Y-1}$ zu

${\displaystyle {}{\begin{aligned}&=(Y-1)^{3}+(X+1)^{2}(Y-1)-2(X+1)(Y-1)+2(X+1)^{2}-4(X+1)-2(Y-1)\\&=Y^{3}-3Y^{2}+3Y-1+(X^{2}+2X+1)(Y-1)-2XY+2X-2Y+2+2X^{2}+4X+2-4X-4-2Y+2\\&=Y^{3}-3Y^{2}+3Y-1+X^{2}Y+2XY+Y-X^{2}-2X-1-2XY+2X-2Y+2+2X^{2}+4X+2-4X-4-2Y+2\\&=Y^{3}+X^{2}Y-3Y^{2}+X^{2}.\end{aligned}}}$

Der homogene Bestandteil von kleinstem Grad ist also ${\displaystyle {}X^{2}-3Y^{2}=(X-{\sqrt {3}}Y)(X+{\sqrt {3}}Y)}$. Daher ist die Multiplizität zwei und die beiden Tangenten durch den singulären Punkt werden durch ${\displaystyle {}X=\pm {\sqrt {3}}Y}$ beschrieben.