Offenbar gehört das neutrale Element zum Durchschnitt. Seien ${\displaystyle {}g,h\in \bigcap _{i\in I}H_{i}}$. Dann ist ${\displaystyle {}g,h\in H_{i}}$ für alle ${\displaystyle {}i}$ und daher auch ${\displaystyle {}g+h\in H_{i}}$ für alle ${\displaystyle {}i}$. Damit gehört ${\displaystyle {}g+h}$ zum Durchschnitt, d.h. der Durchschnitt ist ein Untermonoid. Sei nun ${\displaystyle {}h}$ ein Element im Durchschnitt. Dann ist ${\displaystyle {}h\in H_{i}}$ für alle ${\displaystyle {}i}$ und daher auch ${\displaystyle {}h^{-1}\in H_{i}}$ für alle ${\displaystyle {}i}$, also ${\displaystyle {}h^{-1}\in \bigcap _{i\in I}H_{i}}$.