Die Dreiecksseite gegenüber von ${\displaystyle {}(0,1)}$ liegt auf der ${\displaystyle {}x}$-Achse, die weiteren Punkte haben also die Form ${\displaystyle {}(a,0)}$ und ${\displaystyle {}(b,0)}$.

1. Bei einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck bilden die Schenkel den rechten Winkel. Daher ist ${\displaystyle {}b=-a}$ und die Schenkel müssen mit der ${\displaystyle {}y}$-Achse einen Winkel von ${\displaystyle {}45}$ Grad einschließen. Somit sind ${\displaystyle {}(1,0)}$ und ${\displaystyle {}(-1,0)}$ die weiteren Eckpunkte.
2. In diesem Fall muss die Höhe eine Dreiecksseite sein. Daher ist ${\displaystyle {}(0,0)}$ ein Eckpunkt und wegen der Gleichschenkligkeit ist ${\displaystyle {}(1,0)}$ (oder ${\displaystyle {}(0,1)}$) der weitere Eckpunkt.
3. Wegen der Symmetrie in einem gleichseitigen Dreieck ist ${\displaystyle {}b=-a}$ und die Bedingung der Gleichseitigkeit

   ${\displaystyle {}{\sqrt {1+a^{2}}}=2a\,}$

   führt auf

   ${\displaystyle {}1+a^{2}=4a^{2}\,,}$

   also

   ${\displaystyle {}a^{2}={\frac {1}{3}}\,}$

   und somit

   ${\displaystyle {}a={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,.}$

   Die weiteren Punkte sind also ${\displaystyle {}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}},\,0\right)}$ und ${\displaystyle {}\left(-{\frac {1}{\sqrt {3}}},\,0\right)}$.