Wir nehmen an, dass der Höhenfußpunkt zur Höhe durch ${\displaystyle {}C}$ zwischen ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ liegt. Es sei ${\displaystyle {}h}$ die Länge dieser Höhe und ${\displaystyle {}D}$ der Höhenfußpunkt. Es sei ${\displaystyle {}p}$ die Länge von ${\displaystyle {}A}$ nach ${\displaystyle {}D}$ und ${\displaystyle {}q}$ die Länge von ${\displaystyle {}B}$ nach ${\displaystyle {}D}$. Nach dem Satz des Pythagoras ist

${\displaystyle {}h^{2}+p^{2}=a^{2}\,}$

und

${\displaystyle {}h^{2}+(c-p)^{2}=b^{2}\,,}$

woraus sich

${\displaystyle {}a^{2}-p^{2}=b^{2}-(c-p)^{2}=b^{2}-c^{2}+2cp-p^{2}\,,}$

also

${\displaystyle {}a^{2}-b^{2}=-c^{2}+2cp\,}$

und

${\displaystyle {}p={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2c}}\,}$

ergibt. Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}h^{2}&=a^{2}-p^{2}\\&=a^{2}-{\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2c}}\right)}^{2}\\&={\frac {4a^{2}c^{2}-2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}{4c^{2}}}\\&={\frac {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}{4c^{2}}}\end{aligned}}}$

und daher

${\displaystyle {}h={\frac {\sqrt {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{2c}}\,}$

und letztlich

${\displaystyle {}F={\frac {1}{2}}ch={\frac {\sqrt {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{4}}\,.}$