Zur Existenz. Bei ${\displaystyle {}n=0}$ ist ${\displaystyle {}q=r=0}$ eine Lösung. Sei ${\displaystyle {}n}$ positiv. Da ${\displaystyle {}d}$ positiv ist, gibt es ein Vielfaches ${\displaystyle {}ad\geq n}$. Daher gibt es auch eine Zahl ${\displaystyle {}q}$ mit ${\displaystyle qd\leq n}$ und ${\displaystyle (q+1)d>n}$. Sei ${\displaystyle {}r:=n-qd}$. Dann ist

${\displaystyle {}qd\leq qd+r<qd+d\,}$

und daher ist ${\displaystyle {}0\leq r<d}$ wie gewünscht. Bei ${\displaystyle {}n}$ negativ kann man schreiben ${\displaystyle {}-n={\tilde {q}}d+{\tilde {r}}}$ nach dem Resultat für positive Zahlen. Daraus ergibt sich

${\displaystyle n=(-{\tilde {q}})d-{\tilde {r}}={\begin{cases}(-{\tilde {q}})d+0{\text{ bei }}{\tilde {r}}=0\\(-{\tilde {q}}-1)d+d-{\tilde {r}}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}}$

Im zweiten Fall erfüllen ${\displaystyle {}q=-{\tilde {q}}-1}$ und ${\displaystyle {}r=d-{\tilde {r}}}$ die Bedingungen.
Zur Eindeutigkeit. Sei ${\displaystyle {}qd+r=n={\tilde {q}}d+{\tilde {r}}}$, wobei die Bedingungen jeweils erfüllt seien. Es sei ohne Einschränkung ${\displaystyle {}{\tilde {r}}\geq r}$. Dann gilt ${\displaystyle {}(q-{\tilde {q}})d={\tilde {r}}-r}$. Diese Differenz ist nichtnegativ und kleiner als ${\displaystyle {}d}$, links steht aber ein Vielfaches von ${\displaystyle {}d}$, so dass die Differenz ${\displaystyle {}0}$ sein muss und die beiden Darstellungen überein stimmen.