Es sei ${\displaystyle {}\pi }$ ein Erzeuger des maximalen Ideals von ${\displaystyle {}R}$. Es seien ${\displaystyle {}a,b\in R}$ mit ${\displaystyle {}b\neq 0}$. Wir müssen zeigen, dass es eine Darstellung

${\displaystyle {}a=qb+r\,}$

mit ${\displaystyle {}r=0}$ oder ${\displaystyle {}\operatorname {ord} \,(r)<\operatorname {ord} \,(b)}$ ist. Wenn ${\displaystyle {}a=0}$ ist, sind wir mit ${\displaystyle {}q,r=0}$ fertig. Sei also ${\displaystyle {}a\neq 0}$. Wir schreiben ${\displaystyle {}a=u\pi ^{s}}$ und ${\displaystyle {}b=v\pi ^{t}}$ mit Einheiten ${\displaystyle {}u,v}$ und mit ${\displaystyle {}s,t\in \mathbb {N} .}$ Bei

${\displaystyle {}s\geq t\,}$

ist

${\displaystyle {}a=u\pi ^{s}={\frac {u}{v}}\pi ^{s-t}v\pi ^{t}={\frac {u}{v}}\pi ^{s-t}b\,.}$

Bei

${\displaystyle {}s<t\,}$

ist

${\displaystyle {}a=0\cdot b+a\,}$

und es ist

${\displaystyle {}\operatorname {ord} \,(a)=s<t=\operatorname {ord} \,(b)\,.}$