Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein diskreter Bewertungsring, dessen Restekörper ${\displaystyle {}K=R/{\mathfrak {m}}={\mathbb {F} }_{q}}$ endlich mit ${\displaystyle {}q}$ Elementen sei. Zeige, dass ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {m}}^{n}}$ ein endlicher Ring mit ${\displaystyle {}q^{n}}$ Elementen ist. Man folgere, dass zu ${\displaystyle {}f\in R}$ die Gleichheit

${\displaystyle {}{\#\left(R/(f)\right)}=q^{\operatorname {ord} \,(f)}\,}$

${\displaystyle {}f}$