Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Darstellung ${\displaystyle {}v=v_{1}+v_{2}}$ mit ${\displaystyle {}v_{1}\in U_{1}}$ und ${\displaystyle {}v_{2}\in U_{2}}$ eindeutig ist. Die Linearität ergibt sich aus

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi (av+bv')&=\varphi _{1}((av+bv')_{1})+\varphi _{2}((av+bv')_{2})\\&=\varphi _{1}(av_{1}+bv'_{1})+\varphi _{2}(av_{2}+bv'_{2})\\&=a\varphi _{1}(v_{1})+b\varphi _{1}(v'_{1})+a\varphi _{2}(v_{2})+b\varphi _{2}(v'_{2})\\&=a\varphi _{1}(v_{1})+a\varphi _{2}(v_{2})+b\varphi _{1}(v'_{1})+b\varphi _{2}(v'_{2})\\&=a\varphi (v)+b\varphi (v').\end{aligned}}}$