Sei zunächst die Summe direkt. Wir führen Induktion über ${\displaystyle {}n}$, wobei der Induktionsanfang klar ist. Sei die Dimensionsaussage für ein ${\displaystyle {}n}$ schon bewiesen, und es liegen ${\displaystyle {}n+1}$ Untervektorräume vor. Die ersten ${\displaystyle {}n}$ Untervektorräume davon erfüllen dann ebenfalls die Durchschnittsbedingung, d.h. ihre Summe ist direkt und es gilt nach Induktionsvoraussetzung

${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(U_{1}+\cdots +U_{n}\right)}=\sum _{i=1}^{n}\dim _{K}{\left(U_{i}\right)}\,.}$

Da auch

${\displaystyle {}U_{n+1}\cap {\left(\sum _{j=1}^{n}U_{j}\right)}=0\,}$

ist, folgt nach Fakt die Gleichung

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\dim _{K}{\left(U_{1}+\cdots +U_{n}+U_{n+1}\right)}&=\dim _{K}{\left(U_{1}+\cdots +U_{n}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{n+1}\right)}\\&={\left(\sum _{i=1}^{n}\dim _{K}{\left(U_{i}\right)}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{n+1}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n+1}\dim _{K}{\left(U_{i}\right)}.\end{aligned}}}$

Zum Beweis der Umkehrung nehmen wir an, dass

${\displaystyle {}U_{i}\cap {\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}\neq 0\,}$

ist für ein ${\displaystyle {}i}$. Wir wenden Fakt auf ${\displaystyle {}U_{i}}$ und ${\displaystyle {}W=\sum _{j\neq i}U_{j}}$ an und erhalten

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\dim _{K}{\left(\sum _{j}U_{j}\right)}&=\dim _{K}{\left(U_{i}+\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}\\&=\dim _{K}{\left(U_{i}\right)}+\dim _{K}{\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}-\dim _{K}{\left(U_{i}\cap \sum _{j\neq i}U_{j}\right)}\\&>\dim _{K}{\left(U_{i}\right)}+\dim _{K}{\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}\\&\geq \dim _{K}{\left(U_{i}\right)}+\sum _{j\neq i}\dim _{K}{\left(U_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}\dim _{K}{\left(U_{j}\right)}.\end{aligned}}}$