Die Funktion ${\displaystyle {}x\mapsto x^{3}}$ ist überall differenzierbar und die Ableitung ist nur an der Stelle ${\displaystyle {}x=0}$ gleich ${\displaystyle {}0}$. Daher ist die Umkehrfunktion ${\displaystyle {}y\mapsto {\sqrt[{3}]{y}}}$ für ${\displaystyle {}y\neq 0}$ differenzierbar. Daher ist auch ${\displaystyle {}f}$ als Hintereinanderschaltung von ${\displaystyle {}x\mapsto x^{2}}$ und dieser Funktion für ${\displaystyle {}x\neq 0}$ differenzierbar.

Für ${\displaystyle {}x=0}$ betrachten wir direkt den Differenzenquotient, also für ${\displaystyle {}h\neq 0}$ den Ausdruck

${\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{h^{2}}}{h}}.}$

Wir betrachten positive ${\displaystyle {}h}$ und können den Nenner als

${\displaystyle {}h={\sqrt[{3}]{h^{3}}}={\sqrt[{3}]{h^{2}}}\cdot {\sqrt[{3}]{h}}\,}$

schreiben. Daher ist der Differenzenquotient gleich

${\displaystyle {}{\frac {\sqrt[{3}]{h^{2}}}{h}}={\frac {\sqrt[{3}]{h^{2}}}{{\sqrt[{3}]{h^{2}}}\cdot {\sqrt[{3}]{h}}}}={\frac {1}{\sqrt[{3}]{h}}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{h}}}\,.}$

Für ${\displaystyle {}h_{n}={\frac {1}{n}}}$ steht hier ${\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{n}}}$ und dies divergiert, also existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht. Daher ist ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}0}$ nicht differenzierbar.