Wenn die rationale Zahl die Form ${\displaystyle {}{\frac {a}{2^{i}\cdot 5^{j}}}}$ besitzt, so kann man mit ${\displaystyle {}2^{j}\cdot 5^{i}}$ erweitern und erhält im Nenner ${\displaystyle {}10^{i+j}}$, so dass ein Dezimalbruch vorliegt. Es sei nun die rationale Zahl

${\displaystyle {}z={\frac {a}{b}}\,}$

in gekürzter Darstellung gegeben, und sei vorausgesetzt, dass in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}b}$ eine Primzahl

${\displaystyle {}p\neq 2,5\,}$

vorkommt. Wir schreiben

${\displaystyle {}b=pu\,.}$

Nehmen wir an, dass die Zahl ein Dezimalbruch ist, dann gibt es eine Gleichung der Form

${\displaystyle {}{\frac {a}{b}}={\frac {a}{pu}}={\frac {c}{10^{k}}}\,.}$

Dies bedeutet nach dem Überkreuzprinzip, dass

${\displaystyle {}a\cdot 10^{k}=pcu\,}$

ist. Wegen der Teilerfremdheit ist ${\displaystyle {}p}$ kein Teiler von ${\displaystyle {}a}$, müsste also wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ${\displaystyle {}10^{k}}$ vorkommen, was aber nicht der Fall ist. Dies ist ein Widerspruch.