Die Brüche seien

${\displaystyle {}x=a\cdot 10^{k}\,}$

und

${\displaystyle {}y=b\cdot 10^{\ell }\,}$

mit ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {Z} }$ und mit ${\displaystyle {}k,\ell \in \mathbb {Z} }$. Wegen der Symmetrie können wir ${\displaystyle {}k\geq \ell }$ annehmen. Dann ist

${\displaystyle {}a\cdot 10^{k}+b\cdot 10^{\ell }=a\cdot 10^{k-\ell }\cdot 10^{\ell }+b\cdot 10^{\ell }={\left(a\cdot 10^{k-\ell }+b\right)}\cdot 10^{\ell }\,}$

wieder von der gleichen Bauart, also ein Dezimalbruch. Für das Produkt ist

${\displaystyle {}a\cdot 10^{k}\cdot b\cdot 10^{\ell }=a\cdot b\cdot 10^{k+\ell }\,.}$

Die anderen Behauptungen sind ebenfalls klar.