Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${\displaystyle {}n}$, wobei es für ${\displaystyle {}n=1}$ nichts zu zeigen gibt. Sei also ${\displaystyle {}n\geq 2}$ und ${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\left(a_{ij}\right)}_{ij}}$. Die relevanten Zeilen seien ${\displaystyle {}v_{r}}$ und ${\displaystyle {}v_{s}}$ mit ${\displaystyle {}r<s}$. Nach Definition ist ${\displaystyle {}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}}$. Nach Induktionsvoraussetzung sind dabei ${\displaystyle {}\det M_{i}=0}$ für ${\displaystyle {}i\neq r,s}$, da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist

${\displaystyle {}\det M=(-1)^{r+1}a_{r1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}a_{s1}\det M_{s}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}a_{r1}=a_{s1}}$ ist. Die beiden Matrizen ${\displaystyle {}M_{r}}$ und ${\displaystyle {}M_{s}}$ haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile ${\displaystyle {}z=v_{r}=v_{s}}$ in ${\displaystyle {}M_{r}}$ als die ${\displaystyle {}(s-1)}$-te Zeile und in ${\displaystyle {}M_{s}}$ als die ${\displaystyle {}r}$-te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt ${\displaystyle {}s-r-1}$ Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man ${\displaystyle {}M_{r}}$ in ${\displaystyle {}M_{s}}$ überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung und Fakt unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor ${\displaystyle {}(-1)^{s-r-1}}$, also ist ${\displaystyle {}\det M_{s}=(-1)^{s-r-1}\det M_{r}}$. Setzt man dies oben ein, so erhält man

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\det M&=(-1)^{r+1}a_{r1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}a_{s1}\det M_{s}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}(-1)^{s-r-1}\det M_{r}\right)}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}+(-1)^{2s-r}\right)}\det M_{r}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}+(-1)^{r}\right)}\det M_{r}\\&=0.\end{aligned}}}$