Es sei ${\displaystyle {}D}$ eine endliche kommutative Gruppe und es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Wir betrachten die Zuordnung

${\displaystyle E\longmapsto E^{\perp }={\left\{\chi \in D^{\vee }\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}d\in E\right\}},}$

die einer Untergruppe von ${\displaystyle {}D}$ eine Untergruppe von ${\displaystyle {}D^{\vee }}$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.

b) Unter der kanonischen Abbildung

${\displaystyle D\longrightarrow (D^{\vee })^{\vee },\,d\longmapsto (\operatorname {ev} _{d}:\chi \mapsto \chi (d)),}$

ist ${\displaystyle {}\operatorname {ev} _{d}(E)\subseteq (E^{\perp })^{\perp }}$.

c) Es sei vorausgesetzt, dass ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}m}$-te primitive Einheitswurzel enthält, wobei ${\displaystyle {}m}$ der Exponent

${\displaystyle {}D}$

${\displaystyle {}\operatorname {ev} _{d}(E)=(E^{\perp })^{\perp }}$