Für ${\displaystyle {}n=2}$ ist

${\displaystyle {}{\binom {2}{2}}=1\,}$

keine Primzahl. Für ${\displaystyle {}n=3}$ ist

${\displaystyle {}{\binom {3}{2}}=3\,}$

eine Primzahl. Wir behaupten, dass für ${\displaystyle {}n\geq 4}$ der Binomialkoeffizient

${\displaystyle {}{\binom {n}{2}}={\frac {n\cdot (n-1)}{2}}\,}$

keine Primzahl ist. Wenn nämlich ${\displaystyle {}n}$ gerade ist, so ist ${\displaystyle {}n-1}$ gerade und es ist

${\displaystyle {}{\frac {n\cdot (n-1)}{2}}={\frac {n}{2}}\cdot (n-1)\,}$

und beide Faktoren sind ${\displaystyle {}\geq 2}$, also liegt eine echte Faktorzerlegung vor. Wenn ${\displaystyle {}n}$ ungerade ist, so ist

${\displaystyle {}{\frac {n\cdot (n-1)}{2}}=n\cdot {\frac {n-1}{2}}\,}$

${\displaystyle {}\geq 2}$