Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine ${\displaystyle {}n}$-elementige Menge und

${\displaystyle {}T\subseteq M\,}$

eine ${\displaystyle {}k}$-elementige Teilmenge. Wir betrachten die Menge aller bijektiven Abbildungen

${\displaystyle {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow M,}$

die zusätzlich ${\displaystyle {}\{1,\ldots ,k\}}$ auf ${\displaystyle {}T}$ (und damit) ${\displaystyle {}\{k+1,\ldots ,n\}}$ auf ${\displaystyle {}M\setminus T}$ abbilden. Nach Fakt und nach Fakt gibt es ${\displaystyle {}k!\cdot (n-k)!}$ solche Abbildungen. Insgesamt gibt es ${\displaystyle {}n!}$ bijektive Abbildungen von ${\displaystyle {}{\{1,\ldots ,n\}}}$ nach ${\displaystyle {}M}$. Daher ist

${\displaystyle {}{\left({\text{Anzahl der }}k{\text{-elementigen Teilmengen von }}M\right)}\cdot k!\cdot (n-k)!=n!\,.}$

Insbesondere ist ${\displaystyle {}k!\cdot (n-k)!}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}n!}$ und es ist

${\displaystyle {}{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,}$

die Anzahl der ${\displaystyle {}k}$-elementigen Teilmengen von ${\displaystyle {}M}$.