Wegen Kontraposition genügt es,

${\displaystyle L\vdash \Box \neg \Box \bot \leftrightarrow \Box \bot }$

zu zeigen, wobei wir die einzelnen Implikationen getrennt zeigen. Aus einem Widerspruch folgt Beliebiges, also

${\displaystyle \vdash \bot \rightarrow \neg \Box \bot .}$

Nach Fakt  (1) folgt

${\displaystyle \vdash \Box \bot \rightarrow \Box \neg \Box \bot .}$

Eine Instanz des Löb-Axioms ist

${\displaystyle L\vdash \Box (\Box \bot \rightarrow \bot )\rightarrow \Box \bot .}$

Das Widerspruchsaxiom ergibt

${\displaystyle \vdash \neg \Box \bot \wedge \Box \bot \rightarrow \bot ,}$

was wir als

${\displaystyle \vdash \neg \Box \bot \rightarrow (\Box \bot \rightarrow \bot )}$

schreiben. Mit Fakt  (1) erhalten wir

${\displaystyle \vdash \Box \neg \Box \bot \rightarrow \Box (\Box \bot \rightarrow \bot ).}$

Der Kettenschluss liefert

${\displaystyle L\vdash \Box \neg \Box \bot \rightarrow \Box \bot .}$