Sei ${\displaystyle {}\Gamma =I^{\vDash }}$. Da der Ableitungskalkül korrekt ist, ist ${\displaystyle {}\Gamma }$ abgeschlossen unter Ableitungen. Aufgrund der rekursiv definierten Wahrheitsbelegung gilt für jedes ${\displaystyle {}\alpha \in L^{V}}$ entweder ${\displaystyle {}\alpha \in \Gamma }$ oder ${\displaystyle {}\neg \alpha \in \Gamma }$. Somit ist ${\displaystyle {}\Gamma }$ widerspruchsfrei. Sobald man zu ${\displaystyle {}\Gamma }$ einen Ausdruck ${\displaystyle {}\alpha }$ hinzunimmt, hat man ${\displaystyle {}\alpha ,\neg \alpha \in \Gamma }$ und daraus kann man einen Widerspruch ableiten. Die Menge ist also maximal widerspruchsfrei.