Es ist

${\displaystyle \vdash {\left(\alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}\wedge {\left(\neg \alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}}$

nach Axiom  (6), woraus sich nach Axiom  (4) mit Modus Pones auch

${\displaystyle \vdash {\left(\alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}\rightarrow {\left({\left(\neg \alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}}$

ergibt. Wegen Axiom  (1) ist

${\displaystyle \vdash \alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}}$

und daher mit Modus Ponens auch

${\displaystyle \vdash {\left(\neg \alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}.}$

Wegen Axiom  (5) ist

${\displaystyle \vdash \neg \alpha \wedge \alpha \rightarrow \alpha }$

und damit mit Axiom  (4) auch

${\displaystyle \vdash \neg \alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)},}$

so dass sich

${\displaystyle \vdash \alpha \rightarrow \alpha }$

ergibt.