Nach Axiom  (4) ist

${\displaystyle \vdash {\left(\alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \alpha \right)}\right)}\rightarrow {\left(\alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha \right)}}$

und wegen Axiom  (1) ist

${\displaystyle \vdash \alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \alpha \right)},}$

so dass mit Modus Ponens auch

${\displaystyle \vdash \alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha }$

gilt. Für die andere Behauptung gehen wir von Fakt aus, was

${\displaystyle \vdash \beta \rightarrow \beta }$

liefert. Wegen Axiom  (1) haben wir

${\displaystyle \vdash {\left(\beta \rightarrow \beta \right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \beta \right)}\right)},}$

also mit Modus Ponens auch

${\displaystyle \vdash \alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \beta \right)}.}$

Nach Axiom  (4) ist

${\displaystyle \vdash {\left(\alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \beta \right)}\right)}\rightarrow {\left(\alpha \wedge \beta \rightarrow \beta \right)},}$

woraus sich nach dem bisher Bewiesenen

${\displaystyle \alpha \wedge \beta \rightarrow \beta }$

ergibt.