Die Inklusion

${\displaystyle {}\Gamma ^{\vdash }\subseteq {\left(\Gamma ^{\vdash }\right)}^{\vdash }\,}$

ist wegen ${\displaystyle {}\vdash \alpha \rightarrow \alpha }$ klar. Sei also ${\displaystyle {}{\left(\alpha \in \Gamma ^{\vdash }\right)}^{\vdash }}$. Dies bedeutet, dass es Ausdrücke ${\displaystyle {}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \Gamma ^{\vdash }}$ mit

${\displaystyle \vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \alpha }$

gibt. Für die einzelnen ${\displaystyle {}\alpha _{i}}$ gibt es ${\displaystyle {}\beta _{i1},\ldots ,\beta _{ik_{i}}\in \Gamma }$ mit

${\displaystyle \vdash \beta _{i1}\wedge \ldots \wedge \beta _{ik_{i}}\rightarrow \alpha _{i}}$

für jedes ${\displaystyle {}i}$. Daraus ergibt sich mit Hilfe (der Regelversion) von Fakt  (2)

${\displaystyle \vdash \beta _{11}\wedge \ldots \wedge \beta _{1k_{1}}\wedge \beta _{21}\wedge \ldots \wedge \beta _{2k_{2}}\wedge \ldots \wedge \beta _{n1}\wedge \ldots \wedge \beta _{nk_{n}}\rightarrow \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}.}$

Mit der Kettenschlussregel ergibt sich daraus

${\displaystyle \vdash \beta _{11}\wedge \ldots \wedge \beta _{1k_{1}}\wedge \beta _{21}\wedge \ldots \wedge \beta _{2k_{2}}\wedge \ldots \wedge \beta _{n1}\wedge \ldots \wedge \beta _{nk_{n}}\rightarrow \alpha ,}$

${\displaystyle {}\alpha \in \Gamma ^{\vdash }}$