Die Voraussetzung bedeutet, dass es Ausdrücke ${\displaystyle {}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m},\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}\in \Gamma }$ mit

${\displaystyle \vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{m}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}}$

und mit

${\displaystyle \vdash \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow {\left(\beta \rightarrow \gamma \right)}}$

gibt. Daraus ergibt sich mit Hilfe (der Regelversion) von Fakt  (2)

${\displaystyle \vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{m}\wedge \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\wedge {\left(\beta \rightarrow \gamma \right)}.}$

Es gilt die Tautologie (Axiom  (2),)

${\displaystyle \vdash {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\wedge {\left(\beta \rightarrow \gamma \right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \gamma \right)}.}$

Aus der Regelversion dieses Axioms ergibt sich

${\displaystyle \vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{m}\wedge \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \gamma \right)}.}$

${\displaystyle {}\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \gamma }$