Wir wollen

${\displaystyle {}{\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}\,}$

zeigen. Durch Quadrieren ist dies äquivalent zu

${\displaystyle {}{\frac {x^{2}+2xy+y^{2}}{4}}\geq xy\,}$

bzw. zu

${\displaystyle {}{\frac {x^{2}-2xy+y^{2}}{4}}\geq 0\,.}$

Wegen

${\displaystyle {}{\left({\frac {x-y}{2}}\right)}^{2}={\frac {x^{2}-2xy+y^{2}}{4}}\,}$