Die Abbildung ist wohldefiniert, da der Ausdruck

${\displaystyle {}-z^{2}+2z^{3}=z^{2}(2z-1)\,}$

für ${\displaystyle {}z\in \mathbb {N} }$ nie negativ wird. Es sei

${\displaystyle {}\psi (x,y,z,w):=x\cdot y\cdot y+z\cdot z\cdot z+z\cdot z\cdot z=w+z\cdot z\,.}$

Für beliebige natürliche Zahlen ${\displaystyle {}(n_{1},n_{2},n_{3},n_{4})\in \mathbb {N} ^{4}}$ gilt dann

${\displaystyle \mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},n_{2},n_{3},n_{4})}$

genau dann, wenn in ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ die Gleichheit

${\displaystyle {}n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{2}+n_{3}\cdot n_{3}\cdot n_{3}+n_{3}\cdot n_{3}\cdot n_{3}=n_{4}+n_{3}\cdot n_{3}\,}$

gilt, was genau dann der Fall ist, wenn in ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ die Gleichheit

${\displaystyle {}n_{4}=n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{2}-n_{3}\cdot n_{3}+n_{3}\cdot n_{3}\cdot n_{3}+n_{3}\cdot n_{3}\cdot n_{3}\,}$

bzw.

${\displaystyle {}n_{4}=n_{1}\cdot n_{2}^{2}-n_{3}^{2}+2n_{3}^{3}\,,}$

also

${\displaystyle {}n_{4}=f(n_{1},n_{2},n_{3})\,}$

${\displaystyle {}\psi }$

${\displaystyle {}f}$