Eine Abbildung

${\displaystyle F\colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}}$

heißt arithmetisch repräsentierbar, wenn es einen ${\displaystyle {}L^{\rm {Ar}}}$-Ausdruck ${\displaystyle {}\psi }$ in ${\displaystyle {}r+s}$ freien Variablen derart gibt, dass für alle ${\displaystyle {}(r+s)}$-Tupel ${\displaystyle {}(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\in \mathbb {N} ^{r+s}}$ die Äquivalenz ${\displaystyle {}F(n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}\mathbb {N} \vDash \psi (n_{1},\ldots ,n_{r+s})}$ gilt.