Wir müssen die Abschätzungen

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{-i}\leq {\frac {1}{3}}<\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{-i}+{\frac {1}{10^{-k}}}\,}$

nachweisen. Wir schreiben diese Bedingung als

${\displaystyle {}{\frac {\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{k-i}}{10^{k}}}\leq {\frac {1}{3}}<{\frac {\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{k-i}+1}{10^{k}}}\,.}$

Um dies zu zeigen multiplizieren wir über Kreuz. Für die linke Seite erhalten wir

${\displaystyle {}3{\left(\sum _{i=1}^{k}3\cdot 10^{k-i}\right)}=9\cdot \sum _{j=0}^{k-1}10^{j}<10^{k}\,,}$

wobei die letzte Abschätzung auf Fakt

${\displaystyle {}9\cdot \sum _{j=0}^{k-1}10^{j}}$

${\displaystyle {}3}$

${\displaystyle {}10^{k}+2}$