Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ ein Körperelement ${\displaystyle {}n_{K}}$ zuordnen kann, so dass ${\displaystyle {}0_{K}}$ das Nullelement in ${\displaystyle {}K}$ und ${\displaystyle {}1_{K}}$ das Einselement in ${\displaystyle {}K}$ ist und so dass

${\displaystyle (n+1)_{K}=n_{K}+1_{K}}$

gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften

${\displaystyle (n+m)_{K}=n_{K}+m_{K}{\text{ und }}(nm)_{K}=n_{K}\cdot m_{K}}$

besitzt und dass sie injektiv ist. Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften dann ebenfalls gelten.