Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein angeordneter Körper.

Dann erfüllt die Betragsfunktion

${\displaystyle K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,}$

folgende Eigenschaften (dabei seien ${\displaystyle {}x,y}$ beliebige Elemente in ${\displaystyle {}K}$).

1. ${\displaystyle {}\vert {x}\vert \geq 0}$.
2. ${\displaystyle {}\vert {x}\vert =0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}x=0}$ ist.
3. ${\displaystyle {}\vert {x}\vert =\vert {y}\vert }$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}x=y}$ oder ${\displaystyle {}x=-y}$ ist.
4. ${\displaystyle {}\vert {y-x}\vert =\vert {x-y}\vert }$.
5. ${\displaystyle {}\vert {xy}\vert =\vert {x}\vert \vert {y}\vert }$.
6. Für ${\displaystyle {}x\neq 0}$ ist ${\displaystyle {}\vert {x^{-1}}\vert =\vert {x}\vert ^{-1}}$.
7. Es ist ${\displaystyle {}\vert {x+y}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {y}\vert }$ (Dreiecksungleichung für den Betrag).
8. Es ist ${\displaystyle {}\vert {x+y}\vert \geq \vert {x}\vert -\vert {y}\vert }$.