Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

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Eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ ist genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ , die in ${}M$ konvergiert, bereits in ${}T$ konvergiert.
Es sei
${}v'=Mv\,$

mit

$M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, es sei ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine invertierbare Matrix und es sei

$N=BMB^{-1}.$

Dann ist

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,t\longmapsto v(t),$
genau dann eine Lösung von ${}v'=Mv$ , wenn ${}w=Bv$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}w'=Nw$ ist.
Sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei
$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion, die im Punkt ${}P\in G$ ein lokales Extremum besitzt. Wenn ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}v\in V$ differenzierbar ist, so ist

${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=0\,.$
Seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ offen und sei
$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt, in dem das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ injektiv sei. Dann gibt es eine
offene Umgebung ${}U$ , ${}P\in U\subseteq G$ , derart, dass ${}\varphi {|}_{U}$ injektiv ist.

Zur gelösten Aufgabe

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