${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$

${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$

${\displaystyle {}\Vert {-}\Vert }$

${\displaystyle {}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,}$

${\displaystyle {}v,w\in V}$

${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${\displaystyle {}P\in G}$ und es sei ${\displaystyle {}Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))}$ die Faser durch ${\displaystyle {}P}$. Das totale Differential ${\displaystyle {}\left(D\varphi \right)_{P}}$ sei surjektiv. Dann gibt es eine offene Menge ${\displaystyle {}P\in W}$, ${\displaystyle {}W\subseteq G}$, eine offene Menge ${\displaystyle {}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

${\displaystyle \psi \colon V\longrightarrow W}$

derart, dass ${\displaystyle {}\psi (V)\subseteq Z\cap W}$ ist und ${\displaystyle {}\psi }$ eine Bijektion

${\displaystyle \psi \colon V\longrightarrow Z\cap W}$

${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${\displaystyle {}G}$ ist ein Gradientenfeld.
2. ${\displaystyle {}G}$ erfüllt die Integrabilitätsbedingung.
3. Für jeden stetig differenzierbaren Weg ${\displaystyle {}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U}$ hängt das Wegintegral ${\displaystyle {}\int _{\gamma }G}$ nur vom Anfangspunkt ${\displaystyle {}\gamma (a)}$ und Endpunkt ${\displaystyle {}\gamma (b)}$ ab.