Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

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Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in ${}\mathbb {R}$ .
Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.
Es sei ${}b>a$ und seien
$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige, auf ${}]a,b[$ differenzierbare Funktionen mit

${}g'(x)\neq 0\,$

für alle ${}x\in {]a,b[}$ . Dann ist ${}g(b)\neq g(a)$ und es gibt ein ${}c\in {]a,b[}$ mit

${}{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}\,.$
Es seien
$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
stetig differenzierbare Funktionen.
Dann gilt

$\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt=fg|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt.$

Zur gelösten Aufgabe

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