Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

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Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in ${}\mathbb {R}$ .
Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.
Es sei ${}{\overline {T}}$ die Menge aller Berührpunkte von ${}T$ und
$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

sei gleichmäßig stetig. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon {\overline {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
Sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei
$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Dann gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$

Zur gelösten Aufgabe

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