Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

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Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}m$ Elementen und ${}N$ eine endliche Menge mit ${}n$ Elementen. Es sei ${}m>n$ . Dann gibt es keine injektive Abbildung
$M\longrightarrow N.$
Seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei ${}y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen ${}f(a)$ und ${}f(b)$ . Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit ${}f(x)=y$ .
Sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und
$f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

zwei Funktionen, die in ${}a$ differenzierbar seien. Wenn ${}g$ keine Nullstelle in ${}D$ besitzt, so ist ${}f/g$ differenzierbar in ${}a$ mit

$(f/g)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}.$

Zur gelösten Aufgabe

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