Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
Es gebe eine reelle Zahl ${}q$ mit ${}0\leq q<1$ und ein ${}k_{0}$ mit
${}\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$
für alle ${}k\geq k_{0}$ . Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.
Sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei
$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Dann gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$

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