Bei ${\displaystyle {}n=1}$ besteht die Summe links aus dem einzigen Summanden ${\displaystyle {}(-1)^{1}1=-1}$, die Summe ist also ${\displaystyle {}-1}$. Da ${\displaystyle {}1}$ ungerade ist, steht rechts ${\displaystyle {}-{\frac {2}{2}}=-1}$, der Induktionsanfang ist also gesichert.

Sei die Aussage nun für ${\displaystyle {}n}$ bewiesen, und es ist die Gültigkeit der Aussage für ${\displaystyle {}n+1}$ zu zeigen. Die Summe links ist

${\displaystyle {}\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k}k={\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k\right)}+(-1)^{n+1}(n+1)\,.}$

Bei ${\displaystyle {}n}$ gerade (also ${\displaystyle n+1}$ ungerade) ist dies nach Induktionsvoraussetzung gleich

${\displaystyle {}{\frac {n}{2}}+(-1)^{n+1}(n+1)={\frac {n}{2}}-(n+1)={\frac {n-2n-2}{2}}={\frac {-n-2}{2}}=-{\frac {n+2}{2}}\,,}$

was mit der rechten Seite übereinstimmt. Bei ${\displaystyle {}n}$ ungerade (also ${\displaystyle n+1}$ gerade) ist die Summe nach Induktionsvoraussetzung gleich

${\displaystyle {}-{\frac {n+1}{2}}+(-1)^{n+1}(n+1)=-{\frac {n+1}{2}}+(n+1)={\frac {-n-1+2n+2}{2}}={\frac {n+1}{2}}\,,}$