Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

Sei ${}C=V(F)$ eine Quadrik in zwei Variablen, also
${}F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$

(mit ${}\alpha$ , ${}\beta$ , ${}\gamma$ nicht alle ${}0$ ). Es sei vorausgesetzt, dass es mindestens einen Punkt auf der Quadrik gibt. Dann gibt es Polynome ${}P_{1},P_{2},Q\in K[T]$ , ${}Q\neq 0$ , derart, dass das Bild der rationalen Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\supseteq D(Q)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,{\text{ mit }}t\longmapsto \left({\frac {P_{1}(t)}{Q(t)}},{\frac {P_{2}(t)}{Q(t)}}\right)$
in ${}C$ liegt.
Sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}R$ eine reduzierte ${}K$ -Algebra von endlichem Typ und sei ${}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ das ${}K$ -Spektrum von ${}R$ . Dann ist
${}\Gamma (V,{\mathcal {O}})=R\,.$
Sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong D_{+}(X_{0})$ eine affine Varietät. Dann wird der projektive Abschluss durch ${}V_{+}({\mathfrak {b}})$ beschrieben,

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